Question

已知數列的前項和為，對一切正整數，點都在函數的圖象上.
（1）求，；
（2）求數列的通項公式；
（3）若，求證數列的前項和．

Answer 1

(1)   (2)  （3）見解析

解析試題分析：
(1)把點帶入函數的解析式即可得到,利用數列前n項和的定義可得,則分別令帶入式子即可得到的值.
(2)由(1)可得,則利用前n項和與之間的關系,令時,然后驗證首項,即可得到的通項公式.
(3)把(2)得到的帶入,即可得到的通項公式,為求其前n項和,可以把進行裂項,進而采用裂項求和的方法即可得到,再利用非負即可證明
試題解析：
（1）∵點都在函數的圖象上，
∴，                                      （1分）
∴，                                               （2分）
又，∴.                        （4分）
（2）由（1）知，，
當時，                             （6分）
由（1）知，滿足上式，                          （7分）
所以數列的通項公式為.                           （8分）
（3）由（2）得      （11分）

（12分）
                               （13分）
.                             （14分）
考點：裂項求和 不等式 數列前n項和