Question

設有關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（Ⅰ）若a是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，b是從0，1，2三個數中任取的一個數，記方程有兩不等實根為事件A，方程沒有實數根記為事件B，求事件A+B的概率
（Ⅱ）若a是從區間[0，3]任取的一個數，b是從區間[0，2]任取的一個數，求上述方程有實根的概率．

Answer 1

（Ⅰ）由題意可知，總的基本事件有：
（0，0）、（0，1）、（0，2）、（1，0）、（1，1）、（1，2）、
（2，0）、（2，1）、（2，2）、（3，0）、（3，1）、（3，2）共有12個…（1分）
事件A發生，要求△=4a²-4b²＞0，即a²＞b²，
符合的基本事件有（1，0）、（2，0）、
（2，1）、（3，0）、（3，1）、（3，2），共6個…（2分）
故P（A）=

6

12

=

1

2

…（3分）
事件B發生要求△=4a²-4b²＜0，即a²＜b²，符合的基本事件有：（0，1）、（0，2）、
（1，2）共3個…（4分）
故P（B）=

3

12

=

1

4

…（5分）
又事件A、B互斥，
∴P（A+B）=P（A）+P（B）=

3

4

…（6分）
（Ⅱ）試驗的全部約束所構成的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．
構成事件A的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率為=

3×2-  1 2 ×22

3×2

=

2

3

…（12分）