Question

【題目】設f（x）是定義在（﹣1，+∞）內的增函數，且f（xy）=f（x）+f（y）若f（3）=1且f（a）＞f（a﹣1）+2
求：
（1）f（9）的值，
（2）求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是定義在（﹣1，+∞）內的增函數，f（3）=1，函數滿足f（xy）=f（x）+f（y），

令x=y=3，f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=1+1=2．

即f（9）=2

（2）解：由（1）可得f（9）=2，

則f（a）＞f（a﹣1）+2轉化為f（a）＞f（a﹣1）+f（9），

∴f（a）＞f（9a﹣9），

又∵f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數，

∴ ，

∴ ．

故得a的取值范圍是（0， ）

【解析】（1）利用f（3）=1，函數滿足f（xy）=f（x）+f（y），賦值法求解即可．（2）將f（3）=1轉化為f（9），根據定義域和單調性轉化為不等式求解．