Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）= +alnx﹣3x，g（x）=﹣x2+8x，且x=1是函數f（x）的極大值點．
（1）求a的值．
（2）如果函數y=f（x）和函數y=g（x）在區間（b，b+1）上均為增函數，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為函數 （x＞0）

所以f′（x）=x+ ﹣3，（x＞0），

又因為x=1是函數f（x）的極大值點．

所以 ，解得a=2

檢驗：當a=2時， （x＞0）

當x∈（0，1），（2，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈（1，2）時，f′（x）＜0，

所以x=1是函數f（x）的極大值點，a=2符合題意

（2）解：g（x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16

所以函數g（x）的單調遞增區間是（4，+∞）

又由（1）可知函數f（x）的單調遞增區間是（0，1），（2，+∞）

所以依題意得 或

解得 b=0或 2≤b≤3

所以實數b的取值范圍是{0}∪[2，3]

【解析】（1）因為函數 （x＞0），求出導函數，利用x=1是函數f（x）的極大值點．求出a．然后驗證即可．（2）求出函數g（x）的單調遞增區間．又由（1）可知函數f（x）的單調遞增區間是（0，1），（2，+∞），列出不等式組，求解b 的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．