Question

若在區間[-1，6]上等可能的任取一實數a，則使得函數f（x）=x³-3x-a有三個相異的零點的概率為

 

．

Answer 1

考點：幾何概型

專題：概率與統計

分析：構造g（x）=x³-3x，k（x）=a，運用導數判斷出極值，根據圖象求解出a的范圍：-2＜a＜2，再根據題意得出-1≤a≤2，區間長度為3，即可運用幾何概率求解．

解答： 解：函數f（x）=x³-3x-a，
構造g（x）=x³-3x，
k（x）=a，
f′（x）=3x²-3，
∴f′（x）=3x²-3=0，x=±1，
f′（x）=3x²-3＞0，x＞1，x＜-1，
f′（x）=3x²-3＜0，-1＜x＜1，
∴f（x）在（-1，1）單調遞減，（1，+∞）（-∞，-1）單調遞增，
∴f（x）_極大值=f（-1）=2，
f（x）_極小值=f（2）=-2
∴g（x）=x³-3x，k（x）=a，有三個交點時，a的范圍：-2＜a＜2，
∵在區間[-1，6]上等可能的任取一實數a
∴-1≤a≤2，區間長度為3，
∴使得函數f（x）=x³-3x-a有三個相異的零點的概率為

3

7

故答案為：

3

7

點評：本題考查了函數的圖象的運用，結合導數判斷極值，確定交點對應的變量范圍，再運用結合概率求解，屬于綜合題，難度較大．