Question

已知曲線C是到點P(-

1

2

，

3

8

)和到直線y=-

5

8

距離相等的點的軌跡，l是過點Q（-1，0）的直線，M是C上（不在l上）的動點；A、B在l上，MA⊥l，MB⊥x軸（如圖）．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）求出直線l的方程，使得

|QB|2

|QA|

為常數．

Answer 1

分析：（I）設N（x，y）為C上的點，進而可表示出|NP|，根據N到直線y=-

5

8

的距離和|NP|進而可得曲線C的方程．
（II）先設M(x，

x2+x

2

)，直線l：y=kx+k，進而可得B點坐標，再分別表示出|QB|，|QM|，|MA|，最后根據|QA|²=|QM|²-|AM|²求得k．

解答：解：（I）設N（x，y）為C上的點，則|NP|=

(x+ 1 2 )2+(y- 3 8 )2

，
N到直線y=-

5

8

的距離為|y+

5

8

|．
由題設得

(x+ 1 2 )2+(y- 3 8 )2

=|y+

5

8

|，
化簡，得曲線C的方程為y=

1

2

(x2+x)．

（II）設M(x，

x2+x

2

)，直線l：y=kx+k，則B（x，kx+k），從而|QB|=

1+k2

|x+1|．
在Rt△QMA中，因為|QM | 2= (x+1)2+(

x2+x

2

) 2=(x+1)2(1+

x2

4

)，|MA| 2=

(x+1)2(k- x 2 )2

1+k2

．
所以|QA|2=|QM|2-|AM|2=

(x+1)2

4(1+k2)

(kx+2)2，
∴|QA|=

|x+1|•|kx+2|

2 1+k2

，

|QB|2

|QA|

=

2(1+k2) 1+k2

|k|

•|

x+1

x+ 2 k

|．
當k=2時，

|QB|2

|QA|

=5

5

，
從而所求直線l方程為2x-y+2=0．

點評：本題主要考查求曲線軌跡方程，兩條直線的位置關系等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．