Question

【題目】已知函數f（x）= ；
（1）證明f（x）為奇函數；
（2）證明f（x）在區間（0，2）上為減函數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f（x）的定義域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），

f（﹣x）= =﹣f（x），

故函數f（x）是奇函數

（2）證明：f（x）=x+ ，

設x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，

∴f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+4（ ﹣ ）=（x1﹣x2）+ =（x1﹣x2）（1﹣ ）=（x1﹣x2） ，

∵0＜x1＜x2＜2，

∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2＜4，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在區間（0，2）上為減函數

【解析】1、由f（x）的定義域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）根據奇函數的定義可得f（x）是奇函數。
2、由函數增減性的定義可得。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數的奇偶性的理解，了解偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．