Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數的圖像與軸相切，求證：對于任意互不相等的正實數，，都有.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見證明

【解析】

（1）先對函數求導，分別討論和，即可得出結果；

（2）結合（1）的結果，得到時，在上單調遞增，不滿足條件；當時，得到的極大值，再由函數的圖像與軸相切，求出，將原問題轉為證明即可，再構造函數，用導數的方法判斷其單調性，結合條件，即可得出結論成立.

（1）函數的定義域為 ，.

當時， ，在上單調遞增；

當時，由，得 .

若 ，，單調遞增；

若 ，，單調遞減

綜合上述：當時，在上單調遞增；

當時，在單調遞增，在上單調遞減.

（2）由（Ⅰ）知，當時，在上單調遞增，不滿足條件；

當時，的極大值為，

由已知得 ，故 ，此時.

不妨設，則

等價于 ，即證：

令 ， 則

故在單調遞減，所以.

所以對于任意互不相等的正實數，都有 成立.