Question

{a_n}前n項和為S_n，2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁，a₂+5，a₃成等差數列
（1）求a₁的值；
（2）求{a_n}通項公式；
（3）證明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，分別取n=1，2時，可得a₂=2a₁+3，a₃=6a₁+13．利用a₁，a₂+5，a₃成等差數列，即可得出；
（2）當n≥2時，2a_n=2S_n-2S_n-1，化為an+1=3an+2n，變形an+1+2n+1=3(an+2n)，利用等比數列的通項公式即可得出；
（3）由an=3n-2n≥3^n-1．可得

1

an

≤

1

3n-1

，再利用等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： （1）解：∵2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，
∴n=1，2時，2a₁=a₂-3，2a₁+2a₂=a₃-7，
∴a₂=2a₁+3，a₃=6a₁+13．
∵a₁，a₂+5，a₃成等差數列，
∴2（a₂+5）=a₁+a₃，
∴2（2a₁+8）=a₁+6a₁+13，
解得a₁=1．
（2）解：當n≥2時，2a_n=2S_n-2S_n-1=an+1-2n+1+1-(an-2n+1)，化為an+1=3an+2n，
∴an+1+2n+1=3(an+2n)，a₁+2=3．
∴數列{an+2n}是等比數列，
∴an+2n=3n，
∴an=3n-2n．
（3）證明：∵an=3n-2n≥3^n-1．
∴

1

an

≤

1

3n-1

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3n

)＜

3

2

．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、遞推式的應用、“放縮法”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．