Question

如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F為的中點．
（1）求證：AF⊥平面CDE；
（2）求異面直線CB與AE所成角的大小；?求平面ACD和平面BCE所成銳二面角的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得DE⊥AF，AF⊥CD，由此能證明AF⊥平面CDE．
（2）取CE的中點Q，連結FQ，由FD，FQ，FA兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線CB與AE所成角的大小和平面ACD和平面BCE所成銳二面角的大小．

解答： （1）證明：∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴DE⊥AF，又∵AC=AD，F為CD中點，
∴AF⊥CD，
∵CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE．
（2）解：取CE的中點Q，連結FQ，
∵F為CD的中點，故DE⊥平面ACD，
∴FQ⊥平面ACD，由（1）知FD，FQ，FA兩兩垂直，
故建立如圖所示的空間直角坐標系，
則F（0，0，0），C（-1，0，0），
A（0，0，

3

），B（0，1，

3

），E（1，2，0），

CB

=（1，1，

3

），

AE

=（1，2，-

3

），
∵

CB

•

AE

=0，∴異面直線CB與AE所成角的大小為90°．

CB

=（1，1，

3

），

CE

=（2，2，0），
設平面BCE的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • CB =x+y+ 3 z=0 n • CE =2x+2y=0

，
取x=1，得

n

=(1，-1，0)，
又平面ACD的一個法向量為

FQ

=（0，1，0），
∴|cos＜

FQ

，

n

＞|=|

0-1+0

2

|=

2

2

，
∴平面ACD和平面BCE所成銳二面角的大小為45°．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查異面直線CB與AE所成角的大小和平面ACD和平面BCE所成銳二面角的大小的求法，解題時要注意向量法的合理運用．