Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線的參數方程為（， 為參數）.以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）當時，求曲線上的點到直線的距離的最大值；

（2）若曲線上的所有點都在直線的下方，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

(1)由題意結合點到直線距離公式可得距離的解析式為，結合三角函數的性質可得曲線上的點到直線的距離的最大值為.

(2)原問題等價于對，有恒成立，結合恒成立的條件可得實數的取值范圍是.

試題解析：

（1）直線的直角坐標方程為.

曲線上的點到直線的距離

，

當時， ，

即曲線上的點到直線的距離的最大值為.

（2）∵曲線上的所有點均在直線的下方，

∴對，有恒成立，

即（其中）恒成立，

∴.

又，∴解得，

∴實數的取值范圍為.