Question

【題目】2017高考特別強調了要增加對數學文化的考查，為此某校高三年級特命制了一套與數學文化有關的專題訓練卷（文、理科試卷滿分均為100分），并對整個高三年級的學生進行了測試.現從這些學生中隨機抽取了50名學生的成績，按照成績為， ，…， 分成了5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學生的成績均不低于50分）.

（1）求頻率分布直方圖中的的值，并估計所抽取的50名學生成績的平均數、中位數（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；

（2）若高三年級共有2000名學生，試估計高三學生中這次測試成績不低于70分的人數；

（3）若在樣本中，利用分層抽樣的方法從成績不低于70分的三組學生中抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人參加這次考試的考后分析會，試求兩組中至少有1人被抽到的概率.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）.（3）.

【解析】試題分析：（1）由各個矩形的面積和為可得，各矩形中點橫坐標對應頻率之積求和即可得平均數，設中位數為分，利用左右兩邊面積為可得中位數；（2）根據直方圖可得50名學生中成績不低于70分的頻率，即可估計這次測試成績不低于70分的人數；（3）利用列舉法，確定基本事件的個數，即利用古典概型概率公式可求出兩組中至少有1人被抽到的概率的概率.

試題解析：（1）由頻率分布直方圖可得第4組的頻率為 ，

故.

故可估計所抽取的50名學生成績的平均數為

（分）.

由于前兩組的頻率之和為，前三組的頻率之和為，故中位數在第3組中.

設中位數為分，

則有，所以，

即所求的中位數為分.

（2）由（1）可知，50名學生中成績不低于70分的頻率為，

由以上樣本的頻率，可以估計高三年級2000名學生中成績不低于70分的人數為.

（3）由（1）可知，后三組中的人數分別為15,10,5，故這三組中所抽取的人數分別為3,2,1.記成績在這組的3名學生分別為， ， ，成績在這組的2名學生分別為， ，成績在這組的1名學生為，則從中任抽取3人的所有可能結果為， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共20種.

其中兩組中沒有人被抽到的可能結果為，只有1種，

故兩組中至少有1人被抽到的概率為.