Question

【題目】如圖，已知四棱錐S﹣ABCD，底面ABCD為菱形，SA⊥平面ABCD，∠ADC=60°，E，F分別是SC，BC的中點．

（1）證明：SD⊥AF；
（2）若AB=2，SA=4，求二面角F﹣AE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ADC=60°，可得△ABC為正三角形．

因為F為BC的中點，所以AF⊥BC．

又BC∥AD，因此AE⊥AD．

因為SA⊥平面ACDB，AE平面ABCD，所以SA⊥AF．

而SA平面SAD，AD平面SAD且SA∩AD=A，

所以AF⊥平面PAD．又SD平面SAD，

所以AF⊥SD．

（2）解：由（1）知AF，AD，AS兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又E，F分別為SC，BC的中點，所以 ， ，

所以 ．

設平面AEF的一法向量為 ，

則 因此

取Z1=﹣1，則 ，

因為BD⊥AC，BD⊥SA，SA∩AC=A，

所以BD⊥平面AEC，

故 為平面AEC的一法向量，且 ，

所以 ，

由于二面角E﹣AF﹣C為銳角，所以所求二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）證明AF⊥BC．SA⊥AF．推出AF⊥平面PAD．然后利用直線與平面垂直的性質定理證明AF⊥SD．（2）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出平面AEF的一法向量，平面AEC的一法向量，通過斜率的數量積求解二面角的余弦值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的性質的相關知識，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行．