Question

如圖，直角梯形中，
橢圓以為焦點且過點，

（1）建立適當的直角坐標系，求橢圓的方程；
（2）若點E滿足是否存在斜率的直線與橢圓交于兩點，且,若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）（2）

（1）以AB所在直線為x軸，AB中點為坐標原點建立直角坐標系
在RT中，
∴
設橢圓F的方程為
∴ ∴        ∴
                                      3分

（2）      由得
當直線L斜率不存在時，不滿足   設L的方程為
代入  得
則L與橢圓有兩個不同公共點的充要條件為
                     5分
即               
設 ，MN的中點為 
等價于 
               6分
                                7分
得       得        8分
代入得                          9分
                                   10分
或者用點差法