Question

【題目】已知函數.

（1）若在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）設，若，恒有成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由在上單調遞增，可得在上恒成立，利用分離參數法求出的范圍即可；

（2）設，，根據條件求出的范圍后，根據，可得的最小值.

解：（1）由，得，

由在上單調遞增，可得在上恒成立，

即在上恒成立，

當時，；當，則，∴，

∴的取值范圍為.

（2）設，，

則.

設，則，

∴單調遞增，即在上單調遞增，

∴.

當時，，在上單調遞增，∴，不符合題意；

當時，，在上單調遞減，，符合題意；

當時，由于為一個單調遞增的函數，

而，，

由零點存在性定理，必存在一個零點，使得，

從而在上單調遞減，在上單調遞增，

因此只需，∴，

∴，從而，

綜上，的取值范圍為，

因此.

設，則，

令，則，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

從而，

∴的最小值為.