Question

【題目】如圖,在四棱錐中, 平面,四邊形為正方形,且, 為線段的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證: 平面;

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值;

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（I）詳見(jiàn)解析；（II）；（III）.

【解析】試題分析：(I) 因?yàn)?/span>平面,所以,由正方形得,所以平面.(II) 以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)計(jì)算直線的方向向量和平面的法向量求得線面角的正弦值.(III)利用(II)的坐標(biāo)系,通過(guò)法向量計(jì)算二面角的余弦值,由此確定二面角的大小.

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)?/span>平面,所以,

因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形,所以

且,所以平面.

（Ⅱ）如圖,以A為原點(diǎn),AB、AD、AP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,可設(shè)PA=1

則B（1,0,0）,P（0,0,1）,C（1,1,0）,D（0,1,0）,則,,

,所以平面PCD的法向量,所以

（Ⅲ）平面PAC的法向量為,所以,所以

二面角的大小為.