Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形ABCD是菱形， 是邊長為2的等邊三角形， , .

Ⅰ求證： 底面ABCD；

Ⅱ求直線CP與平面BDF所成角的大小；

Ⅲ在線段PB上是否存在一點M，使得平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】Ⅰ見解析； ⅡⅢ.

【解析】試題分析：

(Ⅰ) 由題意可得，從而可得底面ABCD． (Ⅱ)建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即可得到所求的線面角． Ⅲ根據坐標法求解探索性問題，假設存在點M滿足條件，并設且，求得點點M坐標后，根據與平面BDF的法向量垂直可得，從而得到符合題意的點M存在．

試題解析：

Ⅰ證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴O為中點

又，

∴，

又，

∴底面

Ⅱ解：由底面ABCD是菱形可得，又由Ⅰ可知．

建立如圖所示的空間直角坐標系．

由是邊長為2的等邊三角形， ，可得．

所以

∴ ．

由已知可得，

設平面BDF的法向量為，

由，可得，

令，則．

設直線CP與平面BDF所成的角為，

則，

又，

∴．

∴直線CP與平面BDF所成角的大小為．

Ⅲ解：假設存在點M滿足條件，且，

則.

若使平面BDF，需且僅需且 平面BDF，

由，解得符合題意．

∴在線段PB上存在一點M，使得平面BDF，且