Question

【題目】已知函數f（x）x+alnx．

（1）求f（x）在（1，f（1））處的切線方程（用含a的式子表示）

（2）討論f（x）的單調性；

（3）若f（x）存在兩個極值點x1，x2，證明：．

Answer 1

【答案】（1）y＝（﹣2+a）x+2﹣a．（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）求出切點坐標，根據導函數求出切線斜率，即可得到切線方程；

（2）求出導函數，對g（x）＝﹣x2+ax﹣1，進行分類討論即可得到原函數單調性；

（3）結合（2）將問題轉為證明1，根據韋達定理轉化為考慮h（x）＝2lnx﹣x的單調性比較大小即可得證.

（1）∵f（x）x+alnx（x＞0）

∴f′（x）（x＞0）

∴當x＝1時，f（1）＝0，f′（1）＝﹣2+a，

設切線方程為y＝（﹣2+a）x+b，代入（1，0），得b＝2﹣a，

∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y＝（﹣2+a）x+2﹣a．

（2）函數的定義域為（0，+∞），

函數的導數f′（x），

設g（x）＝﹣x2+ax﹣1，注意到g（0）＝﹣1，

①當a≤0時，g（x）＜0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此時函數f（x）在（0，+∞）上是減函數；

②當a＞0時，判別式△＝a2﹣4，

（i）當0＜a≤2時，△≤0，即g（x）≤0，即f′（x）≤0恒成立，此時函數f（x）在（0，+∞）上是減函數；

（ii）當a＞2時，令f′（x）＞0，得：x；

令f′（x）＜0，得：0＜x或x；

∴當a＞2時，f（x）在區間（，）單調遞增，在（0，），（，+∞）單調遞減；

綜上所述，綜上當a≤2時，f（x）在（0，+∞）上是減函數，

當a＞2時，在（0，），（，+∞）上是減函數，

在區間（，）上是增函數．

（3）由（2）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，

則f（x1）﹣f（x2）x1+alnx1﹣[x2+alnx2]

＝（x2﹣x1）（1）+a（lnx1﹣lnx2）

＝2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），

則2，

則問題轉為證明1即可，

即證明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，

則lnx1﹣lnx1，

即lnx1+lnx1＞x1，

即證2lnx1＞x1在（0，1）上恒成立，

設h（x）＝2lnx﹣x，（0＜x＜1），其中h（1）＝0，

求導得h′（x）10，

則h（x）在（0，1）上單調遞減，

∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x0，

故2lnx＞x，

則a﹣2成立．