Question

已知關于x的實系數一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個虛數根x₁、x₂，若|x₁-x₂|=2，且2+ai=c-1+i，求方程的根x₁、x₂．

Answer 1

解 由題可知，a、b、c是實數，又2+ai=c-1+i，∴．
∵x₁、x₂是方程x²+bx+3=0的兩個虛數根，|x₁-x₂|=2
∴．　　　　　　　　　
∴|x₁-x₂|²=|（x₁-x₂）²-4x₁x₂|，即|b²-12|=4，解得．
當時，解，得，
即方程的根為．
當時，解，得，
即方程的根為．
分析：根據2+ai=c-1+i，a，c是實數，可求出a，c的值，再根據韋達定理，求出x1+x1，x1x2，用含b的式子表示，再代入|x₁-x₂|=2中，即可求出b值，把a，b，c的值代入方程ax²+bx+c=0，利用求根公式就可求出x₁、x₂．
點評：本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，考查分類討論思想，轉化思想，是中檔題．