Question

若f(x)=x+ln(x+

1+x2

)，對于任意實數a和b，a+b＜0是f（a）+f（b）＜0的

 

．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：根據條件判斷函數的奇偶性和單調性即可得到結論．

解答： 解：顯然，函數f（x）在R上是遞增函數，
f（-x）=-x+ln（-x+

1+x2

）=-x+ln（x+

1+x2

）^-1═-x-ln（x+

1+x2

）=-（x+ln（x+

1+x2

）=-f（x），
則f（x）是奇函數，于是，由a+b＜0，得a＜-b，有f（a）＜f（-b）=-f（b），
即f（a）+f（b）＜0．反過來，也成立．
故a+b＜0是f（a）+f（b）＜0的充要條件，
故答案為：充要條件

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據條件判斷函數的奇偶性和單調性是解決本題的關鍵．