Question

已知集合A={x|ax²+2x+1=0，a∈R}
（1）若A只有一個元素，試求a的值，并求出這個元素；
（2）若A是空集，求a的取值范圍；
（3）若A中至多有一個元素，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：元素與集合關系的判斷,集合中元素個數的最值

專題：集合

分析：（1）若A中只有一個元素，表示方程ax²+2x+1=0為一次方程，或有兩個等根的二次方程，分別構造關于a的方程，即可求出滿足條件的a值，
（2）A為空集，表示方程ax²+2x+1=0無解，根據一元二次方程根的個數與△的關系，我們易得到一個關于a的不等式，解不等式即可得到答案．
（3）若A中至多只有一個元素，則集合A為空集或A中只有一個元素，由（1）（2）的結論，將（1）（2）中a的取值并進來即可得到答案．

解答： 解：（1）若A中只有一個元素，則方程ax²-3x+2=0有且只有一個實根，
當a=0時方程為一元一次方程，滿足條件，此時x=-

1

2

當a≠0，此時△=4-4a=0，解得：a=1，此時x=-1
（2）若A是空集，
則方程ax²-3x+2=0無解
此時△=4-4a＜0，解得：a＞1
（3）若A中至多只有一個元素，
則A為空集，或有且只有一個元素
由（1），（2）得滿足條件的a的取值范圍是：a=0或a≥1

點評：本題考查的知識點是元素與集合關系的判斷，根據題目要求確定集合中方程ax²+2x+1=0根的情況，是解答本題的關鍵．