Question

【題目】已知雙曲線的右頂點到其一條漸近線的距離等于，拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則拋物線上的動點到直線和距離之和的最小值為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：由雙曲線的右頂點到漸近線的距離求出，從而可確定雙曲線的方程和焦點坐標，進而得到拋物線的方程和焦點，然后根據拋物線的定義將點M到直線的距離轉化為到焦點的距離，最后結合圖形根據“垂線段最短”求解．

詳解：由雙曲線方程可得，

雙曲線的右頂點為，漸近線方程為，即．

∵雙曲線的右頂點到漸近線的距離等于，

∴，解得，

∴雙曲線的方程為，

∴雙曲線的焦點為．

又拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，

∴，

∴拋物線的方程為，焦點坐標為．如圖，

設點M到直線的距離為，到直線的距離為，則，

∴．

結合圖形可得當三點共線時，最小，且最小值為點F到直線的距離．

故選B．