Question

【題目】如圖，以兩條互相垂直的公路所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，公路附近有一居民區(qū)EFG和一風(fēng)景區(qū)，其中單位：百米，，風(fēng)景區(qū)的部分邊界為曲線C，曲線C的方程為，擬在居民和風(fēng)景區(qū)間辟出一個(gè)三角形區(qū)域EMN用于工作人員辦公，點(diǎn)M，N分別在x軸和EF上，且MN與曲線C相切于P點(diǎn)．

設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，寫出面積的函數(shù)表達(dá)式；

當(dāng)t為何值時(shí)，面積最小？并求出最小面積．

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根據(jù)曲線切線方程的求法，得到切線的方程；與方程聯(lián)立，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，利用得到函數(shù)關(guān)系式；（2）通過導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，可知極小值點(diǎn)即為最小值點(diǎn)，從而求得最小面積。

由已知可知，故直線MN的斜率為，

直線MN的方程為，

令可得，．

又，，

直線EF的方程為，

聯(lián)立方程組，解得，，

，

．

．

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，取得最小值．

當(dāng)時(shí)，面積最小，最小面積為