Question

已知圓滿足：
①截y軸所得弦長為2；
②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為.
求在滿足條件①②的所有圓中，使代數式取得最小值時，圓的方程．

Answer 1

，或

試題分析：由①②，根據直線與圓相交時，半徑、半弦與弦心距的關系，得到參數的關系式，從而可把代數式化成關于或的一元二次函數，求出這個二次函數的最值及取得最值時相對應的的值，最后確定圓的方程.
試題解析：如下圖所示，圓心坐標為P(a，b)，半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|.

∵圓P被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1，
∴.
取AB的中點D，連接PD，
則有，∴.
取圓P截y軸的弦的中點C，連接PC，PE.
∵圓截y軸所得弦長為2，
∴，∴，
即.
則＝.
∴當b＝1時，取得最小值2，
此時a＝1，或a＝－1，r²＝2.
對應的圓為：，
或.
∴使代數式取得最小值時，對應的圓為
，或.