Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）+

1-a-x

ax+a2

，（a＞0）；
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)方程f（x）=k（k＞0）存在兩個(gè)異號(hào)實(shí)根x₁，x₂；求證：x₁+x₂＞0，其中[（ln（-x+1））′=

-1

-x+1

]．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題（Ⅰ）先求出導(dǎo)函數(shù)，再由導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，得到本題結(jié)論；（Ⅱ）由導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的極值，y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，得到函數(shù)的最小值點(diǎn)位于x軸下方，得到減a的不等式關(guān)系，解不等式，得到a的取值范圍，得到本題結(jié)論；（Ⅲ）由方程f（x）=k（k＞0）的兩個(gè)異號(hào)實(shí)根x₁，x₂，構(gòu)造函數(shù)g（x）=[f（x）-k]-[f（-x）-k]，利用導(dǎo)函數(shù)證明g（x）＞0，從而得到f（-x₁）＜f（x₂），再通過(guò)函數(shù)單調(diào)性，得到自變量的關(guān)系，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=ln（x+a）+

1-a-x

ax+a2

，（a＞0），
∴當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ln（x+1）+

-x

x+1

，（x＞-1），
∴f′（x）=

1

x+1

+

-1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

．
∴當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴y=f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴[f（x）]_min=f（0）=0．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）=ln（x+a）+

1-a-x

ax+a2

，（a＞0），
∴f′（x）=

1

x+a

+

-1

a(x+a)2

=

x+a- 1 a

(x+a)2

，
∴當(dāng)x∈(-a，-a+

1

a

)時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈(-a+

1

a

，+∞)時(shí)，f′（x）＞0；
∴函數(shù)f（x）在(-a，-a+

1

a

)上單調(diào)遞減，在(-a+

1

a

，+∞)上單調(diào)遞增，
∴[f（x）]_min=f（-a+

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

．
∵y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴l(xiāng)n

1

a

+1-

1

a

＜0，
令h（a）=ln

1

a

+1-

1

a

．
h′(a)=

1

a2

-

1

a

=

1-a

a2

，
∴當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，
∴函數(shù)h（a）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∵h(yuǎn)（1）=0，
∴a∈（0，1）時(shí)，h（a）＜0；當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，h（a）＜0，
∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，由（Ⅰ）知：方程f（x）-k=0必在兩個(gè)異號(hào)實(shí)根x₁，x₂，且x₁＜0＜x₂，
∴f（x₁）-k=0，f（x₂）-k=0，
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，設(shè)g（x）=[f（x）-k]-[f（-x）-k]=ln（x+1）+

-x

x+1

-ln（-x+1）-

x

-x+1

，
∴g′（x）=

x

(x+1)2

-

x

(x-1)2

=

-4x2

(x+1)2(x-1)2

≤0，
∴當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，y=g（x）為減函數(shù)，
∵g（0）=0，
∴當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，g（x）＞0，
∵-1＜x₁＜0，
∴g（x₁）＞0，
∴[f（x₁）-k]-[f（x₂）-k]＞0，
∴[f（x₁）-k]＜[f（x₂）-k]，
∴f（-x₁）＜f（x₂），
∵-x₁∈（0，1），x₂∈（0，+∞），y=g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)；
∵-x₁＜x₂，
∴x₂+x₁＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值的關(guān)系，還考查了構(gòu)造函數(shù)的思想，本題有一定的難度，計(jì)算量較大，屬于難題．