Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，B=

π

3

，cosA=

4

5

，b=

3

．
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,兩角和與差的正弦函數

專題：解三角形

分析：（1）由B的度數，用A表示出C，由cosA的值求出sinA的值，將表示出的C代入sinC中，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，把cosA與sinA的值代入計算即可求出值；
（2）由sinA，sinB，以及b的值，利用正弦定理求出a的值，再利用三角形面積公式求出三角形ABC面積即可．

解答： 解：（1）∵A、B、C為△ABC的內角，且B=

π

3

，cosA=

4

5

，
∴C=

2π

3

-A，sinA=

3

5

，
∴sinC=sin（

2π

3

-A）=

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3+4 3

10

；
（2）由（1）知sinA=

3

5

，sinC=

3+4 3

10

，
又∵B=

π

3

，b=

3

，
∴在△ABC中，由正弦定理，得a=

bsinA

sinB

=

6

5

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

6

5

×

3

×

3+4 3

10

=

36+9 3

50

．

點評：此題考查了正弦定理，三角形面積公式，以及兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．