Question

在平面直角坐標系xOy中，以橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一點A為圓心的圓與x軸相切于橢圓的一個焦點，與y軸相交于B、C兩點，若△ABC是銳角三角形，則該橢圓的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A（c，y），由題意可得，y＞c＞

2

2

y，y=±

b2

a

，從而可求橢圓離心率的取值范圍．

解答： 解：∵圓A與x軸相切于焦點F，
∴圓心與F的連線必垂直于x軸，不妨設A（c，y），（y＞0），
∵A在橢圓上，則y=±

b2

a

（a²=b²+c²），
∴圓的半徑為y=

b2

a

，
與y軸相交于B、C兩點，則c＜y，
又△ABC是銳角三角形，且為等腰三角形，
只要A為銳角，即有cos

A

2

＞

2

2

，即為

c

y

＞

2

2

，
故有y＞c＞

2

2

y
∴c²＜（

b2

a

）²＜2c²，
∴e²＜（1-e²）²＜2e²
∴

6 - 2

2

＜e＜

5 -1

2

，
故答案為：（

6 - 2

2

，

5 -1

2

）．

點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．