Question

【題目】如圖，某校打算在長為1千米的主干道一側的一片區域內臨時搭建一個強基計劃高校咨詢和宣傳臺，該區域由直角三角形區域（為直角）和以為直徑的半圓形區域組成，點（異于，）為半圓弧上一點，點在線段上，且滿足.已知，設，且.初步設想把咨詢臺安排在線段，上，把宣傳海報懸掛在弧和線段上.

（1）若為了讓學生獲得更多的咨詢機會，讓更多的省內高校參展，打算讓最大，求該最大值；

（2）若為了讓學生了解更多的省外高校，貼出更多高校的海報，打算讓弧和線段的長度之和最大，求此時的的值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）

【解析】

（1）由題意，結合三角恒等變換的公式，求得，再利用三角函數的性質，即可求解；

（2）由題意，取線段的中點，連接，求得弧長和線段的長度之和表達式，設，，得到，結合導數求得函數的單調性和最值，即可求解.

（1）由題意，在中，可得，

在中，可得，

在中，可得，

所以

.

因為，則，

所以當且僅當，即時，取得最大值，且最大值為千米.

（2）取線段的中點，連接，則.

由（1）知，，

故的長為，

則和線段的長度之和

，.

設，，，，

則，

因為，，所以，

故函數在區間上單調遞減，故.

易知函數在區間上也單調遞減，所以，

所以，

所以當且僅當時，和線段的長度之和最大.