Question

【題目】已知拋物線，拋物線上的點到焦點的距離為2．

（1）求拋物線的方程和的值；

（2）如圖，是拋物線上的一點，過作圓的兩條切線交軸于，兩點，若的面積為，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或．

【解析】

（1）根據題意，由拋物線的定義可求出，即可求出拋物線的方程，再將點點代入拋物線方程中，即可求出的值；

（2）設點，分類討論當切線的斜率不存在時和當切線的斜率不存在時，結合題給，得出不符合題意；則當切線，的斜率都存在時，則，設切線方程為，根據圓的切線的性質和點到直線的距離公式，以及韋達定理的應用，即可求出和的坐標，再結合可求出，即可求出點點的坐標.

解：（1）由拋物線的定義，易得，

∴，

∴拋物線的方程為，

由于點在拋物線上，

則，解得：.

（2）設點，

當切線的斜率不存在時，，

設切線，

圓心到切線的距離為半徑長，即，

∴，∴，∴，不符合題意；

同理，當切線的斜率不存在時，，不符合題意；

當切線，的斜率都存在時，則，

設切線方程為，

圓心到切線的距離為半徑長，即，

兩邊平方整理得，

設，為方程的兩根，則，

由切線，切線，

得，，

∴

，

由于，則，

整理得：，

∴或72，

∴或.