Question

如圖所示，四邊形為直角梯形，，，為等邊三角形，且平面平面，，為中點．

（1）求證：；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；
（3）在內是否存在一點，使平面，如果存在，求的長；如果不存在，說明理由．

Answer 1

（1）參考解析；（2）；（3），

試題分析：（1）根據題意，由于三角形ABE是等邊三角形，所以以線段AB的中點為坐標原點建立空間直角坐標系.寫出相應點的坐標，表示出向量AB與向量DE，并求出兩個向量的數量積為零，所以兩個向量垂直，及對應的兩條直線垂直.
（2）平面與平面垂直關鍵是求出兩個平面的法向量，再根據法向量的夾角的余弦值的絕對值等于銳二面角的余弦值.
（3）用待定系數的方法，假設存在該點Q，要滿足平面，只需要向量PQ，與平面內任一兩條直線所對應的向量的數量積為零即可，從而求出點Q的坐標即線段PQ的長.
試題解析：（1）證明：取中點，連結，
因為△是正三角形，所以.
因為四邊形是直角梯形，，，
所以四邊形是平行四邊形，，
又，所以 .
所以平面，
所以.
（2）解：因為平面平面，
，所以平面，
所以.
如圖所示，以為原點建立空間直角坐標系.

則，，，，.
所以 ,，
設平面的法向量為，則
，
令，則,.所以.
同理求得平面的法向量為，設平面與平面所成的銳二面角為，則
.
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
（3）解：設，因為，
所以，,.
依題意即
解得 ，.
符合點在三角形內的條件.
所以，存在點，使平面，此時.