Question

【題目】記等差數列{an}的前n項和為Sn ．
（1）求證：數列{ }是等差數列；
（2）若a1=1，對任意的n∈N*，n≥2，均有 ， ， 是公差為1的等差數列，求使 為整數的正整數k的取值集合；
（3）記bn=a （a＞0），求證： ≤ ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設等差數列{an}的公差為d，則Sn=na1+ d，從而 =a1+ d，

∴當n≥2時， ﹣ =（a1+ d）﹣（a1+ d）= ．

即數列{ }是等差數列；

（2）解：∵對任意的n∈N*，n≥2， ， ， 都是公差為1的等差數列，

∴{ }是公差為1的等差數列，

又a1=1，∴ ．

∴ = +（n﹣1）×1=n，則Sn=n2．

∴ = ，

顯然，k=1，2滿足條件，k=3不滿足條件；

當k≥4時，∵k2﹣3k﹣2=k（k﹣3）﹣2≥4（4﹣3）﹣2=2＞0，

∴0＜ ＜1，

∴1 ， 不是整數．

綜上所述，正整數k的取值集合為{1，2}；

（3）證明：設等差數列{an}的公差為d，則an=a1+（n﹣1）d，bn=a = ，

∴ = =ad，

即數列{bn}是公比大于0，首項大于0的等比數列，記公比為q（q＞0）．

以下證明：b1+bn≥bp+bk，其中p，k為正整數，且p+k=1+n．

∵（b1+bn）﹣（bp+bk）=b1+b1qn﹣1﹣b1qp﹣1﹣b1qk﹣1=b1（qp﹣1﹣1）（qk﹣1﹣1）．

當q＞1時，∵y=qx為增函數，p﹣1≥0，k﹣1≥0，

∴qp﹣1﹣1≥0，qk﹣1﹣1≥0，則b1+bn≥bp+bk．

當q=1時，b1+bn=bp+bk．

當0＜q＜1時，∵y=qx為減函數，p﹣1≥0，k﹣1≥0，

∴qp﹣1﹣1≤0，qk﹣1﹣1≤0，則b1+bn≥bp+bk．

綜上，b1+bn≥bp+bk，其中p，k為正整數，且p+k=1+n．

∴n（b1+bn）=（b1+bn）+（b1+bn）+…+（b1+bn）

≥（b1+bn）+（b2+bn﹣1）+（b3+bn﹣2）+…+（bn+b1）

=（b1+b2+…+bn）+（bn+bn﹣1+…+b1），

即 ≤ ．

【解析】（I）先利用等差數列的前n項和公式可得，再利用等差數列的定義可證數列{}是等差數列；（II）先由題意可得{}的通項公式，進而可得{Sn}的通項公式，再對k的值進行驗證為整數，從而正整數k的取值集合；（III）先利用等比數列的定義可證數列{bn}是等比數列，再利用指數函數的單調性可證b1+bn≥bp+bk，進而可證．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解不等式的證明的相關知識，掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．