Question

【題目】設整數滿足.記.求f的最小值f0.并確定使f=f0成立的數組的個數.

Answer 1

【答案】；個.

【解析】

根據題設條件，化簡得到，在結合二次函數的性質，即可求得最小值，再由對每個k(1≤k≤49)，設等于k的項數為，結合方程的正整數解的組數，即可求解.

由題意，，

可得， ①

由于及均為非負整數，故有，

且，

于是，②

由①，②得，

結合及，

可知，③

另一方面，令，，，

此時驗證，知上述所有不等式均取到等號，從而f的最小值.

以下考慮③的取等條件.此時，且②中的不等式均取等，

即.

因此，且對每個k(1≤k≤49)，中至少有兩項等于k.易驗證，知這也是③取等的充分條件.

對每個k(1≤k≤49)，設等于k的項數為，

則nk為正整數，且，

即，

該方程的正整數解的組數為，

且每組解唯一對應一個使④取等的數組，

故使成立的數組有個.