Question

【題目】已知過點的動直線與圓：相交于、兩點，是中點，與直線：（為常數）相交于點.

（1）求證：當與垂直時，必過圓心；

（2）當時，求直線的方程；

（3）當直線的傾斜角變化時，探索的值是否為常數？若是，求出該常數；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或；（3）為常數,該常數為

【解析】

(1)根據直線與垂直可得到直線的斜率,由點斜式可得的方程,由圓的方程可得圓心坐標,將圓心坐標代入直線的方程滿足可證結論正確,

(2)利用弦長的一半,半徑和勾股定理可求得,再討論直線的斜率,利用點到直線的距離公式列等式可解得.

(3)利用,將轉化為,再討論直線的斜率是否存在,可得點的坐標,利用向量的數量積運算可得結論.

如圖所示:

(1)證明: 當與垂直時,,所以直線的方程為:,即,

又圓：的圓心為滿足直線的方程,

所以當與垂直時，必過圓心

(2)因為圓：的圓心,半徑為3,

根據圓的性質可知,,所以有,

所以,所以,所以,

當直線的斜率不存在時,滿足,

當直線的斜率存在時,設,即,

由點到直線的距離可得,解得,

所以,即,

綜上所述:直線的方程為或.

(3)因為,所以,

所以,

①當與軸垂直時,易得,

則,,

所以,

②當直線的斜率存在時,設直線的方程為,即,

則由 得 ,所以,

則,

所以

.

綜上所述: 為常數,該常數為.