Question

【題目】設函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數有兩個零點，求滿足條件的最小正整數的值.

Answer 1

【答案】(1) 當時，的單調遞增區間為；當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為;(2)3.

【解析】

（1）先求導，再對進行分類討論，利用導數與函數的單調性的關系即可得出；

（2）由（1）可知，若函數有兩個零點，則，且.轉化為求滿足的最小正整數的值，利用單調性判斷其零點所在的最小區間即可求得.

（1）函數的定義域為.

.

,

當時，，函數在上單調遞增；

當時，由，得；由，得.所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.

綜上所述，當時，的單調遞增區間為；

當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（2）由（1）可知，若函數有兩個零點，則，且.

即，

即，

.

令，易知在上是增函數，且，

又，

即.

所以存在，使，

當時，；當時，.

所以滿足的最小正整數的值為3.

又時，，且函數在上單調遞減，在上單調遞增，

時，函數有兩個零點.

綜上，滿足條件的最小正整數的值為3.