Question

設f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-1．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,三角函數的周期性及其求法,三角函數的最值

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）化簡可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1從而由周期公式可求T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）由0≤x≤

π

2

，得

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，從而當2x+

π

4

=

π

2

，f（x）_max=

2

+1；當2x+

π

4

=

5π

4

，f（x）_min=0．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=1+sin2x+cos2x
=

2

sin（2x+

π

4

）+1
所以T=

2π

2

=π
（Ⅱ）由0≤x≤

π

2

，得

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

當2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時，f（x）_max=

2

+1；
當2x+

π

4

=

5π

4

，即x=

π

2

時，f（x）_min=0

點評：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數，三角函數的周期性及其求法，三角函數的最值的求法，屬于基本知識的考查．