Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f′（x）是函數y=f（x）的導數，f″（x）是f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．設函數g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

，則g（

1

2014

）+g（

2

2014

）+…+g（

2013

2014

）（　　）

• A、2011
• B、2012
• C、2013
• D、2014

Answer 1

考點：導數的運算

專題：導數的概念及應用

分析：求出原函數的導函數，再求出導函數的導函數，由導函數的導函數等于0求出x的值，可得g（1-x）+g（x）=2，從而得到g（

1

2014

）+g（

2

2014

）+…+g（

2013

2014

）的值．

解答： 解：∵g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

，
∴g′（x）=x²-x-3，由g^″（x）=2x-1=0，得x=

1

2

．
∴g（

1

2

）=1
∴g（x）的對稱中心為（

1

2

，1），
∴g（1-x）+g（x）=2，
∴g（

1

2014

）+g（

2013

2014

）=g（

2

2014

）+g（

2012

2014

）=…=2g（

1007

2014

）=2g（

1

2

）=2．
∴g（

1

2014

）+g（

2

2014

）+…+g（

2013

2014

）=2013
故選C．

點評：本題是新定義題，考查了函數導函數的零點的求法，考查了函數的性質，解答的關鍵是尋找函數值所滿足的規律，是中檔題．