Question

已知拋物線C的準線方程為x=-

1

4

．
（Ⅰ）求拋物線C的標準方程；
（Ⅱ） 若過點P（t，0）的直線l與拋物線C相交于A、B兩點，且以AB為直徑的圓過原點O，求證t為常數，并求出此常數．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）直接利用拋物線的準線方程，求解拋物線C的標準方程即可；
（Ⅱ）設出直線方程與拋物線聯立，轉化原點O落在以AB為直徑的圓上，得到

OA

•

OB

=0，求出t的值即可證明結果．

解答： 解：（Ⅰ）由準線方程為x=-

1

4

可設拋物線C的方程y²=2px，（p＞0）．
求得p=

1

2

，…（2分）                                        
故所求的拋物線C的方程為：y²=x； …（4分）
（Ⅱ）證明：依題意可設過P的直線l方程為：x=my+t（m∈R），…（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x=my+t y2=x

得：y²=my+t，
依題意可知△＞0恒成立，且y₁•y₂=-t，…（8分）
原點O落在以AB為直徑的圓上．
令

OA

•

OB

=0即x₁x₂+y₁y₂=（y₁•y₂）²+y₁•y₂=（-t）²-t=0．…（10分）
解得：t=1，t=0即t為常數，∴原題得證． …（12分）
（說明：直線l方程也可設為：y=k（x-t），但需加入對斜率不存在情況的討論，否則扣1分）

點評：本題考拋物線的標準方程的求法，直線與橢拋物線的位置關系，拋物線方程的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力．