Question

如圖，函數f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，0≤φ≤

π

2

）的部分圖象，其圖象與y軸交于點（0，

3

）        
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）若f(

θ

2

-

π

6

)=1，求

cos(π+θ)

[cos(π-θ)-1]•cosθ

-

sin(- π 2 +θ)

cosθ•cos(π-θ)+cos(θ-2π)

的值．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）根據圖象確定A，ω 和φ的值即可求函數的解析式；
（Ⅱ）利用三角函數的誘導公式進行化簡即可．

解答： 解：（ I）∵0≤φ≤

π

2

，
∴由五點對應法得

- π 6 ω+φ=0 π 3 ω+φ=π

，解得ω=2，φ=

π

3

，
則f（x）=Asin（ωx+φ）=Asin（2x+

π

3

），
∵圖象與y軸交于點（0，

3

），
∴f（0）=Asin

π

3

=

3

，解得A=2，
故f(x)=2sin(2x+

π

3

)．
（ II）∵f(

θ

2

-

π

6

)=1，
∴得sinθ=

1

2

，
則

cos(π+θ)

[cos(π-θ)-1]•cosθ

-

sin(- π 2 +θ)

cosθ•cos(π-θ)+cos(θ-2π)

=

-cosθ

cosθ(-1-cosθ)

-

-cosθ

-cosθ•cosθ+cosθ

=

1

1+cosθ

-

1

cosθ-1

=-

2

sin2θ

=-8．

點評：本題主要考查三角函數解析式的求解以及誘導公式的應用，根據圖象確定A，ω 和φ的值是解決本題的關鍵．