Question

已知函數（為實常數）．

（1）若函數圖像上動點到定點的距離的最小值為，求實數的值；

（2）若函數在區間上是增函數，試用函數單調性的定義求實數的取值范圍；

（3）設，若不等式在有解，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）或；（2）；（3）當時，；

當時，．

【解析】

試題分析：（1）點是函數上的點，因此我們設點坐標為，這樣可把表示為關于的函數，而其最小值為2，利用不等式的知識可求出，即點坐標，用基本不等式時注意不等式成立的條件；（2）題目已經要求我們用函數單調性的定義求解，因此我們直接用定義，設，則函數在上單調遞增，說明恒成立，變形后可得恒成立，即小于的最小值（如有最小值的話），事實上，故；（3）不等式在有解，則，因此大于或等于的最小值，下面我們要求的最小值，而，可以看作是關于的二次函數，用換元法變為求二次函數在給定區間上的最小值，注意分類討論，分類的依據是二次函數的對稱軸與給定區間的關系．

試題解析：（1）設，則，

                   （1分）

，                （1分）

當時，解得；當時，解得．     （1分）

所以，或．                    （1分）

 （只得到一個解，本小題得3分）

（2）由題意，任取、，且，

則，  （2分）

因為，，所以，即，        （2分）

由，得，所以．

所以，的取值范圍是．                        （2分）

（3）由，得，

因為，所以，                   （2分）

令，則，所以，令，，

于是，要使原不等式在有解，當且僅當（）．  （1分）

因為，所以圖像開口向下，對稱軸為直線，

因為，故當，即時，； （4分）

當，即時，．           （5分）

綜上，當時，；

當時，．                       （6分）

考點：（1）兩點間的距離公式與基本不等式；（2）函數的單調性；（3）不等式有解問題．