Question

【題目】如果函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且存在實(shí)常數(shù)，使得對(duì)定義域內(nèi)的任意，都有恒成立，那么稱此函數(shù)具有“性質(zhì)”.

（1）判斷函數(shù)是否具有“性質(zhì)”，若具有“性質(zhì)”，求出所有的值，若不具有“性質(zhì)”，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）已知具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時(shí)，，求在的最大值；

（3）已知函數(shù)既具有“性質(zhì)”，又具有“性質(zhì)”且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)圖象與直線的公共點(diǎn)有個(gè)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由恒成立，得出的值；

（2）根據(jù)性質(zhì)可知函數(shù)為偶函數(shù)，求出函數(shù)在上的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值；

（3）根據(jù)對(duì)稱軸和周期作出函數(shù)的圖象，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)列出不等式組得出的范圍．

（1）假設(shè)函數(shù)具有“性質(zhì)”，

則恒成立，即恒成立，

化簡(jiǎn)得：恒成立，，解得.

因此，函數(shù)具有“性質(zhì)”，且；

（2）函數(shù)具有“性質(zhì)”，，所以，函數(shù)為偶函數(shù).

當(dāng)時(shí)，則，.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

綜上所述，；

（3））函數(shù)既具有“性質(zhì)”，又具有“性質(zhì)”，

，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，

且函數(shù)的一個(gè)周期為，

作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖象可知，函數(shù)的最小正周期為．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)與直線有無(wú)數(shù)多個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，若函數(shù)圖象與直線的公共點(diǎn)有個(gè)，

所以，解得；

當(dāng)時(shí)，同理可得.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.