Question

【題目】各項均為正數的數列的前項和為，且對任意正整數，都有．

（1）求數列的通項公式；

（2）如果等比數列共有2016項，其首項與公比均為2，在數列的每相鄰兩項與之間插入個后，得到一個新的數列．求數列中所有項的和；

（3）是否存在實數，使得存在，使不等式成立，若存在，求實數的范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，

【解析】

（1）運用數列的通項和前項和的關系，結合等差數列的定義和通項公式，即可得到；

（2）運用等比數列的求和公式和數列求和方法：分組求和，即可得到所求；

（3）運用參數分離可得，運用基本不等式和單調性，分別求出不等式左右兩邊的最值，即可得到所求范圍．

解：（1）當時，由得，

當時，由，得

，

因數列的各項均為正數，所以，

所以數列是首項與公差均為1的等差數列，

所以數列的通項公式為．

（2）數列的通項公式為.

數列中一共有項，其所有項的和為

.

（3） 由得

，，

記，，，

因為，當取等號，所以取不到，

當時，的最小值為，

遞減，的最大值為.

所以如果存在，使不等式成立，

實數應滿足，即實數的范圍應為．