Question

【題目】已知函數f(x)=lnx-a．

(1)若a=-1，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)若f(x)恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) x-y-2=0 (2)

【解析】

（1）利用曲線的切線方程公式，求得結果;

（2）由題，進行變形為f(x)恒成立，即f(x)恒成立，構造新函數，用參變分離求函數單調性求其最值，求得a的范圍.

函數f(x)的定義域為(0,+)

（1）a=-1時，f(x)=lnx-．,,

，且f(1)=-1.

所以曲線在點(1,f(1))處的切線方程為y-(-1)=x-1，

即x-y-2=0.

（2）若f(x)恒成立，即f(x)恒成立．

設g(x)=f(x)-x=lnx--a，只要即可；

．

①當a=0時，令，得x=1.

x,變化情況如下表：

x	(0,1)	1	(1,+)
	+	0	-
g(x)	↗	極大值	↘

所以，故滿足題意.

②當a時，令，得x=-（舍）或x=1；

x,變化情況如下表：

x	(0,1)	1	(1,+)
	+	0	-
g(x)	↗	極大值	↘

所以，令，得.

③當時，存在x=2-

滿足g(2-)=ln(2-)，

所以f(x)不能恒成立，所以不滿足題意.

綜上，實數a的取值范圍為.