Question

【題目】如圖，三棱柱中， 平面， ，點是中點.

（1）求證： ；

（2）若， ， ，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析. （2）.

【解析】試題分析：（1）根據等腰三角形易得，由線面垂直可得，由線面垂直判定定理可得平面，故而可得結論；（2）以， 為軸建立如圖所示空間直角坐標系，分別求出面的一個法向量，面的一個法向量，求出向量夾角即可得結論.

試題解析：（1）證明：∵， 是中點，∴，

∵平面，平面平面，∴平面，

又平面，∴，

∵， ， 平面，

∴平面，

∵平面，∴.

（2）解：取中點，連，

以， 為軸建立如圖所示空間直角坐標系，

由， ， ，知， ，

∴， ，

又，∴， ， ， ，

， ，

設平面的一個法向量為，

則，取得，

同理，得平面的一個法向量，

∴，

∴二面角的余弦值為.