Question

【題目】已知：函數(shù)．

（）求函數(shù)的極值．

（）證明：當(dāng)時(shí)，．

（）當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后可得極值．（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明是上的增函數(shù)，故可得當(dāng)時(shí)，，從而證得不等式成立．（3）由當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，可得當(dāng)時(shí)，恒成立．然后根據(jù)分類討論或分離參數(shù)可得實(shí)數(shù)的取值范圍為．

試題解析：

（）∵，

∴，

令，得，

當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增．

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，且極小值為，無(wú)極大值．

（）證明：設(shè)函數(shù)，則，

由（）知在取得極小值，也為最小值，

∴，

∴是上的增函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，，

∴．

（）當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，

即時(shí)，無(wú)解，

即時(shí)，恒成立．

令，

則，

①時(shí)，，在遞增，故，滿足題意；

②時(shí)，由（）得時(shí)符合題意．

綜上所述，．

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.