Question

【題目】已知函數，.

（1）若時，求函數的最小值；

（2）若函數既有極大值又有極小值，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）代入，得，求導，利用導函數判定函數的單調性，即可求得函數的最小值；

（2）現求導數，函數既有極大值又有極小值，等價于有兩個零點，可分和兩種情況分類討論，得到函數的單調性和極值，得到函數有極大值和極小值的條件，即可求解實數的取值范圍.

試題解析：

（1）當時，，定義域為.

，令，可得.

列表：

	-	0	+
		極小值

所以，函數的最小值為.

（2），定義域為，.

記，，，

①當時，，在上單調遞增，

故在上至多有一個零點，

此時，函數在上至多存在一個極小值，不存在極大值，不符題意；

②當時，令，可得，列表：

	+	0	-
		極大值

若，即，，即，

故函數在上單調遞減，函數在上不存在極值，與題意不符，

若，即時，

由于，且 ，

故存在，使得，即，

且當時，，函數在上單調遞減；

當時，，函數在上單調遞增，函數在處取極小值.

由于，且 （事實上，令， ，故在上單調遞增，所以）.

故存在，使得，即，

且當時，，函數在上單調遞增；

當時，，函數在上單調遞減，函數在處取極大值.

綜上所述，當時，函數在上既有極大值又有極小值.