Question

【題目】如圖，底面是等腰梯形，，點為的中點，以為邊作正方形，且平面平面.

（1）證明：平面平面.

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先證明四邊形是菱形,進而可知,然后可得到平面,即可證明平面平面;

（2）記AC,BE的交點為O,再取FG的中點P.以O為坐標原點,以射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系,分別求出平面ABF和DBF的法向量,然后由,可求出二面角的余弦值,進而可求出二面角的正弦值.

（1）證明：因為點為的中點,,所以,

因為,所以,所以四邊形是平行四邊形,

因為,所以平行四邊形是菱形,所以,

因為平面平面,且平面平面,所以平面.

因為平面,所以平面平面.

（2）記AC,BE的交點為O,再取FG的中點P.由題意可知AC,BE,OP兩兩垂直,故以O為坐標原點,以射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為底面ABCD是等腰梯形,,所以四邊形ABCE是菱形，且,

所以,

則,設平面ABF的法向量為,

則,不妨取,則,

設平面DBF的法向量為,

則,不妨取,則,

故.

記二面角的大小為,故.