Question

【題目】已知函數，其圖象與軸交于不同兩點，，且.

（1）求實數的取值范圍；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）先變量分離得，再利用導數研究函數的單調性和極值，即得解；（2）先利用導數證明，再證明，不等式即得證.

（1）由，得.

令，則.

由，解得，所以在區間上單調遞增；

由，解得，所以在區間上單調遞減；

于是在處取得極小值，且.

又時，，

由于要使的圖象與直線有兩個不同的交點，

所以.

（2）由（1）知.

一方面，令，，

則，

又令，，

則.

易知在上單調遞增，所以，

則在上單調遞減，所以，于是，

所以在上單調遞增.則，即.

所以.

又在區間上單調遞增，所以，即.

另一方面，令，則，

易知在時，取得最小值，所以，即.

，∴.

∵，∴方程有唯一正根，則.

又，在區間單調遞增，

所以根據零點存在定理，得在區間有唯一零點.

所以，

又，②

①代入②，得，解得.

于是.

令，，則

又令，則.

注意到為減函數，所以，

于是，從而為增函數，所以，

故為減函數，則，即.

所以，

又在區間上單調遞增，所以，即.

綜上，.