Question

設函數f（x）=2^x+

a

2x

-1（a為實數）．
（Ⅰ）當a=0時，求方程|f（x）|=

1

2

的根；
（Ⅱ）當a=-1時，若對于任意t∈（1，4]，不等式f（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，求k的范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=2^x-1，由題意得|2^x-1|=

1

2

，進一步可得所以2^x-1=

1

2

，或2^x-1=-

1

2

，解出x即可；
（Ⅱ）當a=-1時，f(x)=2x-

1

2x

-1，易推函數f(x)=2x-

1

2x

-1在R上單調遞增，
不等式f（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，即f（t²-2t）＞f（2t²-k）恒成立，故k＞t²+2t，從而k＞（t²+2t）_max，求最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=2^x-1，
由題意得|2^x-1|=

1

2

，
所以2^x-1=

1

2

，或2^x-1=-

1

2

，
解得x=log2

3

2

或x=-1；
（Ⅱ）當a=-1時，f(x)=2x-

1

2x

-1，
由于函數y=2^x遞增、函數y=

1

2x

遞減，所以f(x)=2x-

1

2x

-1在R上單調遞增．
不等式f（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，
即f（t²-2t）＞f（2t²-k）恒成立，即t²-2t＞2t²-k，故k＞t²+2t，
從而k＞（t²+2t）_max，
又當t∈（1，4]時，（t²+2t）_max=24，
所以k＞24．

點評：本題主要考查指數函數方程的解法，同時考查函數恒成立的問題，函數恒成立問題轉化為求函數的最值是解題的突破口．