【題目】已知函數
.
（1）討論函數
的單調區間；
（2）證明：
.
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
(1)
,分
和
兩種情況討論單調性即可；(2)法一：將不等式
變形為
，構造函數
，證明
即可；法二：將不等式變形為
，分別設
，求導證明
即可.
(1) 
，
當時，
，函數
的單調增區間為
，無減區間；
當時，
，當
，
，
單增區間為
上增，單調減區間為
上遞減。
(2)解法1： 
，即證，令，
，
，令
，
，
在，上單調遞增，
，
，故存在唯一的
使得
，
)在
上單調遞減，在
上單調遞增，
，
，
當
時，
， 
時，
； 所以
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
，得證.
解法2：要證： 
，即證： ，令
，
，當時，
，時，
；所以在上單調遞減，在上單調遞增， 
； 令
，
，，當
時，，
時，
； 所以
在
上單調遞增，在
上單調遞減，
，
，
，得證.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
(
)的焦距為2，橢圓
的左右焦點分別為
，過右焦點作
軸的垂線交橢圓于
兩點，
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點作直線交橢圓于
兩點，若△
的內切圓的面積為
，求△的面積；
（3）已知
，
為圓上一點(在
軸右側)，過作圓的切線交橢圓于
兩點，試問△
的周長是否為一定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年9月，臺風“山竹”在我國多個省市登陸，造成直接經濟損失達52億元.某青年志愿者組織調查了某地區的50個農戶在該次臺風中造成的直接經濟損失，將收集的數據分成五組：
，
，
，
，
（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）試根據頻率分布直方圖估計該地區每個農戶的平均損失（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；
（2）臺風后該青年志愿者與當地政府向社會發出倡議，為該地區的農戶捐款幫扶，現從這50戶并且損失超過4000元的農戶中隨機抽取2戶進行重點幫扶，設抽出損失超過8000元的農戶數為
，求的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業甲,乙兩個研發小組,他們研發新產品成功的概率分別為
和
,現安排甲組研發新產品
,乙組研發新產品
.設甲,乙兩組的研發是相互獨立的.
(1)求至少有一種新產品研發成功的概率;
(2)若新產品
研發成功,預計企業可獲得
萬元,若新產品
研發成功,預計企業可獲得利潤
萬元,求該企業可獲得利潤的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設O為坐標原點，動點M在橢圓C：
上，該橢圓的左頂點A到直線
的距離為
．
求橢圓C的標準方程；
若線段MN平行于y軸，滿足
，動點P在直線
上，滿足
證明：過點N且垂直于OP的直線過橢圓C的右焦點F．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為增強學生體質，合肥一中組織體育社團，某班級有4人積極報名參加籃球和足球社團，每人只能從兩個社團中選擇其中一個社團，大家約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己參加哪個社團，擲出點數為5或6的人參加籃球社團，擲出點數小于5的人參加足球社團．
（1）求這4人中恰有1人參加籃球社團的概率；
（2）用
，
分別表示這4人中參加籃球社團和足球社團的人數，記隨機變量X為和之差的絕對值，求隨機變量X的分布列與數學期望
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設f(x)是定義在區間(1，+∞)上的函數，其導函數為
.如果存在實數a和函數h(x)，其中h(x)對任意的x∈(1，+∞)都有h(x)>0，使得=h(x)(x2-ax+1)，則稱函數f(x)具有性質P(a).
(1)設函數
，其中b為實數.
①求證：函數f(x)具有性質P(a).②求函數f(x)的單調區間.
(2)已知函數g(x)具有性質P(2)，給定x1，x2∈(1，+∞)，x1<x2.設m為實數， 
，且
.若
，求實數m的取值范圍
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率
，短軸的一個端點到焦點的距離為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率為
的直線
與橢圓交于
，
兩點，線段
的中點在直線
上，求直線與
軸交點縱坐標的最小值.
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