Question

已知某商品的進貨單價為1元/件，商戶甲往年以單價2元/件銷售該商品時，年銷量為1萬件，今年擬下調銷售單價以提高銷量，增加收益．據測算，若今年的實際銷售單價為x元/件（1≤x≤2），今年新增的年銷量（單位：萬件）與（2-x）²成正比，比例系數為4．
（1）寫出今年商戶甲的收益y（單位：萬元）與今年的實際銷售單價x間的函數關系式；
（2）商戶甲今年采取降低單價，提高銷量的營銷策略是否能獲得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？說明理由．

Answer 1

解（1）由題意知，今年的年銷售量為1+4（x-2）²（萬件）．
∵每銷售一件，商戶甲可獲利（x-1）元，
∴今年商戶甲的收益
y=[1+4（x-2）²]（x-1）
=4x³-20x²+33x-17，（1≤x≤2）．
（2）由（1）知
y=4x³-20x²+33x-17，1≤x≤2，
∴y′=12x²-40x+33=（2x-3）（6x-11）．
令y′=0，解得x=

3

2

，或x=

11

6

．列表如下：

x	（1， 3 2 ）	3 2	（ 3 2 ， 11 6 ）	11 6	（ 11 6 ，2）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

又f（

3

2

）=1，f（2）=1，
∴f（x）在區間[1，2]上的最大值為1（萬元）．
∵往年的收益為（2-1）×1=1（萬元），
∴商戶甲采取降低單價，提高銷量的營銷策略不能獲得比往年更大的收益．